Transformation de Legendre.
Il est bien connu qu'une courbe dans le plan y = f(x) est parfaitement définie dés lors que sa fonction dérivée f ' est connue en tout point x. On rencontre un certain nombre de situations en physique ou en mathématique où la
donnée naturelle du problème étudié est la dérivée f '(x) plutôt que la variable x elle-même. La transformation de Legendre est un moyen systématique qui permet de définir, sans perte d’informations, une nouvelle fonction dont la variable indépendante sera la pente de la fonction f au point x, c’est-à-dire f '(x).
Définition:
Soit f : R → R, une fonction bornée à variation bornée.
La transformée de Legendre de f est la fonction g définie par l'une des 2 relations :
La première convention de signe est celle utilisée en Mathématique, la seconde est celle utilisée en Thermodynamique.
Montrons que cette définition est équivalente à la définition
Exemple:
Montrons que la transformée de Legendre de la fonction f(x) = mx^2/2 est la fonction g(p) = p^2/2m. En effet,
comme p ≡ f '(x) = mx, on a par définition g(f ′(x)) ≡ x(mx) − mx^2/2 = mx^2/2, donc g(p) = p^2/2m. Cet exemple simple montre que la transformée de Legendre peut être utilisée pour obtenir la mécanique hamiltonienne à partir du formalisme lagrangien.
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| Interprétation géométrique de la transformée le Legendre. |
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Voici quelques exemples supplémentaires de transformées de Legendre que l’on établira à titre d’exercices :
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