Analyse numérique - Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire.

Ce fascicule est un support au cours d’analyse numérique en deuxième année d’une Licence de Mathématiques. Il aborde : la recherche de racines d’une fonction, l’interpolation, l’intégration numériques, l’intégration d’équations différentielles et la résolution de systèmes linéaires.  Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des fonctions réelles d’une variable réelle et Algèbre Linéaire) et Informatiques (Initiation à l’algorithmique et au langage Python) de la première année de Licence.

L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure car on a très peu de temps et beaucoup de concepts nouveaux. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’être exhaustif) ! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs (merci de me les communiquer).

On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée.

Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, économie, etc.), cela afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence du calcul différentiel. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraître incompréhensible. Pour que la méthode d’étude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier), en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide .

Télécharger