Exercice corrigé sur Potentiel et champ créés par un disque en un point

Exercice corrigé sur Potentiel et champ créés par un disque en un point de son axe de révolution.
Question:

On considère un disque de centre O et de rayon R.

Ce système est chargé en surface avec la densité surfacique :

où a est une constante homogène à une longueur et r la distance d’un point P de la surface du disque au centre de ce dernier.

1/Déterminer le potentiel électrostatique en un point M de l’axe de révolution Oz de ce disque.

Pour effectuer le calcul, on effectue le changement de variable : r = zshu.

En déduire l'expression du champ électrostatique en ce point M.

Solution:

1. Potentiel en un point M de l’axe.

On considère un élément de surface de la surface du disque centré en un point P. Le potentiel électrostatique créé en un point M de l’axe Oz a pour expression :

Comme les variables r et θ sont séparées l’intégrale s’écrit :

Pour le calcul on effectue le changement de variable suivant :

           
                          Pour :  

     

D’autre part : 

             

On obtient :
            

En prenant le potentiel nul à l’infini on obtient :  

On doit donc calculer la dérivée de la fonction

On a :   x = sh y  d’où